Emil ist gestürzt.

Maria ist klug.

Erna liebt Max.

München liegt zwischen Garmisch und Nürnberg.

Wir können diesen Sätzen auch eine logische Normalform geben:

ist gestürzt (Emil)

ist klug (Maria)

liebt (Erna, Max)

liegt zwischen (München, Garmisch, Nürnberg)

Nun ist es nur noch ein kleiner Schritt zu einer formalen, vom Inhalt der Sätze abstrahierenden logischen Form. Man benötigt dazu Mitteilungszeichen für Prädikate (F, G, H ...) und Mitteilungszeichen für Namen (a, b, c ...). Damit können wir die logische Form einfacher Sätze darstellen:

F(a) = "a hat die Eigenschaft F" bzw. "F trifft auf a zu" oder einfach "F von a"

F(a,b) = "a steht zu b in der Beziehung F"

F(a,b,c) = "a,b,c stehen zueinander in der Beziehung F"

Man kann nun solche einfachen Sätze durch Satzoperatoren zu neuen Sätzen verbinden, z.B.:

Ø F(a), G(a,b)É Ø H(a,b,c), usw.

Mit der Analyse der einfachen Sätze der Aussagenlogik in Namen und Prädikate verstärkt man die Ausdrucksfähigkeit der Aussagenlogik noch nicht wesentlich. Der entscheidende Schritt im Aufbau der Prädikatenlogik besteht in der Einführung von prädikatenlogischen Operatoren, die aus einstelligen Prädikaten Sätze erzeugen. Solche Ausdrücke sind z.B.: alle, alles, sämtliche, jeder. Diese Wörter drücken eine Generalisierung aus. Wir können z.B. aus dem Prädikat "ist rot" mit dem Wort "alles" den Satz "Alles ist rot" bilden.

Diesem Satz kann man auch die Form "Für jedesDing gilt: es ist rot" geben. Das Pronomen "es" ist dabei natürlich kein Name mehr, sondern bezieht sich auf den generalisierenden Ausdruck "jeder". Er wird daher durch eine Variable (x, y, z ...) ersetzt, wodurch sich die Formulierung "Für jedesDing x gilt: x ist rot" ergibt. Dabei ist x ein Element der Grundmenge aller Dinge (in einem Bereich).

Diesem Ausdruck können wir ebenfalls eine logische Form geben. Dazu brauchen wir ein Symbol, das für die Generalisierung steht, den sogenannten Alloperator (L , " , (x)):

Aus "Für jedes (Ding) x gilt: x ist rot" wird LxF(x).

Den Ausdruck Lx bezeichnen wird dabei als Allquantor.

Weitere Beispiele:
Alle Wale sind Säugetiere Þ Wenn x ein Wal ist, dann ist x ein Säugetier Þ Lx(F(x)É G(x))
Kein Wal ist ein Fisch Þ Wenn x ein Wal ist, dann ist x kein Fisch Þ Lx(F(x)É Ø G(x))

Als zweiten Ausdruck, mit dem sich aus einem einstelligen Prädikat ein Satz erzeugen läßt, betrachtet man in der Prädikatenlogik den Ausdruck etwas (oder: ein, es gibt ein, einige, manche):

"Etwas ist rot" wird dabei gedeutet als: "Es gibt (mindestens) ein Ding x, für das gilt: F(x)"

Für die logische Form benötigen wir einen weiteren Operator, den sogenannten Existenzoperator (V,$ ), den Ausdruck Vx bezeichnen wir analog als Existenzquantor. Als logische Form des obigen Satzes ergibt sich dann: Vx F(x)

Die beiden Quantoren sind wechselseitig definierbar: LxF(x) º Ø VxØ F(x)

Mit Hilfe des Existenz- und Alloperators können wir folgende, aus den aristotelischen Syllogismen bekannten Satzformen bilden:

Alle F sind G:                                 Lx(F(x)É G(x))

Kein F ist ein G:                             L x(F(x)É Ø G(x))

Einige F sind G:                               Vx(F(x)Ù G(x))

Einige F sind nicht G:                       Vx(F(x)Ù Ø G(x))

Die Prädikatenlogik bietet jedoch auch die Möglichkeit des mehrfachen Quantifizierens, was ihre Überlegenheit über die traditionelle Logik ausmacht:

Jeder liebt jeden              LxL yG(x,y)

Jeder liebt jemanden       LxVyG(x,y)

Jemand liebt jeden          VxL yG(x,y)

Jemand liebt jemanden    VxVyG(x,y)

Semantik der Prädikatenlogik
Einer Interpretation der Prädikatenlogik müssen wir einen Bereich von Gegenständen, der mindestens ein Objekt enthalten soll, zugrunde legen. Die Gegenstandskonstanten (a,b,c ...) werden dann als Namen für Objekte dieses Gegenstandsbereichs und die Prädikatenkonstanten als Umfänge von Begriffen, die sich auf diese Objekte beziehen, gedeutet. Unter dem Umfang eines einstelligen Begriffs (einer Eigenschaft) versteht man die Menge aller Objekte, die diese Eigenschaft haben. Der Umfang des Begriffs Mensch ist also die Menge aller Menschen. Als Umfang einer n-stelligen Beziehung versteht man die Menge der Folgen von n Objekten, die zueinander in der Beziehung stehen. Der Umfang des Begriffs "kleiner als" für natürliche Zahlen ist die Menge aller Zahlenpaare x,y, für die gilt, daß x kleiner als y ist (z.B. (1,2), (2,3), (1,3) usw.).

Erweiterungen der Logik
Für mathematische Zwecke wird die Prädikatenlogik noch um einige weitere Aspekte erweitert, z.B. Identität (=), Kennzeichnungen (dasjenige x, für das gilt F(x)) oder Funktionsausdrücke (f(x)).

Die übliche Semantik der Aussagenlogik läßt sich hier nicht anwenden, sondern es ist eine sogenannte Semantik möglicher Welten notwendig. Mögliche Welten bedeutet hier: 'logisch mögliche Welten'.

Franz Josef Strauß war bayerischer Ministerpräsident im Jahre 1985.

Ich glaube, daß Franz Josef Strauß bayerischer Ministerpräsident im Jahre 1985 war.

[Hinweis: Man ersetze den Namen 'Franz Josef Strauß' durch den synonymen Ausduck 'der Bundesverteidigungsminister im Jahre 1960']

• Was meine ich, wenn ich sage, daß ich weiß, daß (bzw. daß ich glaube, daß) "Franz Josef Strauß bayerischer Ministerpräsident im Jahre 1985 war"?

Wenn wir von 'Glauben' reden, dann werden wir sehr schnell bei Graden des Glaubens angelangt sein. So ergibt sich hier ein natürlicher Übergang zur Logik der Wahrscheinlichkeiten.

"Max hängt sehr an seiner Briefmarkensammlung."

Der wichtigste Typ einer mehrwertigen Logik ist die sogenannte Fuzzy-Logik. Hier wird den entsprechenden Sätzen ein Wahrheitswert zwischen 1 (wahr) und 0 (falsch) zugeordnet. So kann man Sätze als 'wahrscheinlich wahr', 'möglicherweise falsch' etc. bezeichnen. Diese Logik ist von großer Bedeutung bei der Computersteuerung von technischen Geräten, insbesondere dann, wenn gewisse Ungenauigkeiten nicht vermieden werden können bzw. die Maschine 'Entscheidungen treffen' muß.