Die traditionelle Logik
Die Logik als förmliche "Wissenschaft vom Wissen" geht auf Aristoteles zurück. Nach Aristoteles analysiert die Logik das Denken und Sprechen und versucht diese auf ihre Grundelemente und Grundfunktionen zu reduzieren. Sie soll eine Anweisung für ein einwandfreies, "wissenschaftliches" Denken, Beweisen und Widerlegen geben. Das Herzstück der aristotelischen Logik ist die Lehre vom Schluß in seiner idealen Form, der Syllogismus. Dieser besteht aus zwei Urteilen, den sogenannten Prämissen, und dem Schlußsatz, der Conclusio. Es handelt sich dabei immer um eine Deduktion, d.h. eine Ableitung eines Besonderen aus einem Allgemeinen.

• Suche nach weiteren Kombinationsmöglichkeiten der Satzformen 'Alle F sind G', 'Kein F ist G', 'Einige F sind G', 'Einige F sind nicht G', die (intuitiv) gültige Schlüsse ergeben und gib jeweils ein Beispiel an.

Die aristotelische Form der Logik blieb bis in das 19.Jahrhundert hinein weitgehend erhalten. Im Mittelalter und der frühen Neuzeit spielte die Logik als Theorie der formalen Bedingungen und Regeln wissenschaftlicher Rede ('sermo') eine überragende Rolle bei der Auslegung von Texten und den Gottesbeweisen. [Anm.: 'Wisenschaft' war im Mittelalter die Auslegung von Texten und nicht die (Natur-)wissenschaft im heutigen Sinne]

Die moderne Logik
Die Entwicklung der modernen Logik ist eng mit der Entwicklung der Mathematik im 19.Jahrhundert verbunden. Die Mathematiker des 19.Jahrhunderts betrachteten es als ihre Hauptaufgabe, Ordnung in ihr Fach hineinzubringen. Dies beinhaltete zwei Punkte: zum einen die Axiomatisierung der mathematischen Theorien, das heißt den Versuch, sie so zu formen, daß sowohl die Grundbegriffe als auch die Grundaussagen (Axiome) einer Theorie klar aufgezeigt werden; zum anderen eine Verbesserung der mathematischen Beweisführung. Sie sollte streng und exakt sein, damit den zahlreichen unvollständigen und oftmals fehlerhaften Beweisen, welche die Mathematik in ihrer großen Blütezeit im 17.Jahrhundert belastet hatten, entgegengewirkt werden konnte. Zu diesem Zweck versuchte man die Mathematik auf die Logik zurückzuführen. Die traditionelle Logik erwies sich für diese Zwecke sehr schnell als untauglich.

Die entscheidende Wende brachte der deutsche Mathematiker und Philosoph Gottlob Frege. Er regte ein Grundkonzept an, das einerseits die Schlußregeln klären sollte und andererseits das Problem der Mehrdeutigkeit in der Umgangssprache beseitigen sollte. Er schlug zu diesem Zweck die Schaffung einer Kunstsprache für mathematisches Argumentieren vor, einer formalisierten Sprache als Ersatz für die natürliche Sprache ["Begriffsschrift"(1879)]. Auf diese Weise versuchte er die Arithmetik (Zahlenlehre) aus der Logik zu entwickeln. Dieses Projekt scheiterte kurz vor seiner Vollendung als Bertrand Russel zeigte, daß sich aus Freges System ein Widerspruch (Antinomie) ergab. Das Projekt wurde jedoch mehr oder weniger erfolgreich weitergeführt. Endgültig scheiterte das Vorhaben erst als 1931 der Mathematiker Kurt Gödel in seinem "Unvollständigkeitssatz" bewies, daß es in hinreichend starken Systemen der Logik zwangsläufig Sätze geben mußte, die nicht bewiesen werden konnten. In der Zwischenzeit hatten sich jedoch viele andere Gebiete der Philosophie der logischen Methode bedient und sie für ihre Zwecke weiterentwickelt, so daß heute die formale Logik das wichtigste Werkzeug der Philosophie geworden ist.

• Welche unterschiedlichen Funktionen hat das Wort 'ist' bzw. 'sein' in der Umgangssprache? Wann wird diese Mehrdeutigkeit zum Problem?
• Russels Paradox (in umgangssprachlicher Form): In einem Dorf rasiert der Dorfbarbier alle Männer, die sich nicht selbst rasieren. Das heißt: er rasiert nur die Männer, die sich nicht selbst rasieren, und alle Männer, für die dies zutrifft. Rasiert der Barbier sich selbst? (Dieses Paradox kann formal aus Freges System abgeleitet werden.)

Aussagenlogik
Die einfachste logische Theorie ist die Aussagenlogik. In ihr werden sprachliche Ausdrücke untersucht, mit denen sich aus gegebenen Sätzen neue, komplexere Sätze erzeugen lassen, d.h. der Inhalt der Sätze spielt keine Rolle, sondern nur ihre Verbindung.

Bisher haben wir nur eine Anzahl von Formeln. Was wir benötigen ist eine Interpretation der Symbole (d.h. eine Semantik für PC): Die Buchstaben stehen natürlich für Sätze und wir setzen voraus, daß alle betrachteten Sätze Aussagesätze sind und entweder wahr oder falsch sind. Die Symbole Ø und Ú sind dagegen Satzverbindungszeichen. Ihre "Bedeutung" wird mit Hilfe sogenannter Wahrheitswerttabellen festgelegt: Um die Wahrheit bzw. Falschheit einer Negation (Ø a ) oder einer Alternation (a Ú b ) zu bestimmen, genügt es, die Wahrheit oder Falschheit ihrer Glieder zu kennen. Man nennt Negation und Alternation daher auch Wahrheitsfunktionen.

Aus Gründen der Einfachheit werden noch weitere Wahrheitsfunktionen zur Darstellung der Formeln verwendet, obwohl Ø und Ú ausreichen würden:

• Bestimme die Wahrheitswertverteilung folgender Formeln:

• pÉ q, p® q (Modus Ponens)
• pÉ q, Ø q® Ø p
• pÉ q, qÉ r® pÉ r
• pÙ Ø p® q (ex contradictione quodlibet)

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